指数为二的树状伽罗瓦表示的逆问题

本文针对附属于二次多项式的有限指数树状伽罗瓦表示,引入了一种系统性的逆问题研究方法。设 $F$ 为特征 $\neq 2$ 的域,$f\in F[x]$ 为首一二次多项式,$\rho_f$ 为与 $f$ 关联的树状伽罗瓦表示,取值于无穷二叉树自同构群 $\Omega_{\infty}$。我们完全描述了 $\Omega_{\infty}$ 的每个指数至多为二的闭子群的极大闭子群,描述基于在某些 $f$ 的临界轨道元素上求值的通用函数之间模平方的线性关系。我们利用该描述导出 $\rho_f$ 的像为 $\Omega_\infty$ 中给定指数为二的子群的充要条件。这些充要条件仅依赖于 $f$ 的临界轨道的算术性质。随后,我们证明若 $\phi=x^2+t\in\mathbb Q(t)[x]$,则恰好存在 $\Omega_{\infty}$ 的五个不同的指数为二的子群,可作为 $\rho_{\phi_{t_0}}$ 的像对无穷多个 $t_0\in\mathbb Q$ 出现,其中 $\phi_{t_0}$ 为专门化多项式。我们表明其中两个无穷频繁出现,并且若Vojta猜想在 $\mathbb Q$ 上成立,则其余子群亦如此。最后,我们给出了每个指数为二的子群的派生列的显式描述。利用此,我们引入了 $\Omega_\infty$ 中指数为二的子群的一组组合不变量。通过精细运用这些不变量,我们得以确立此类子群作为拓扑群是两两不同构的,这是一个具有独立意义的结果。这尤其意味着上述五个群是两两不同的拓扑群,从而给出了 $\mathbb Q$ 上无穷逆伽罗瓦问题的五个真正不同的实例。