关于有理函数的树状伽罗瓦表示

全局域 $K$ 的绝对伽罗瓦群 $\text{Gal}(K^{\text{ksep}}/K)$ 在树 $T(\phi, \alpha)$ 上的作用诱导了一个同态 $\rho: \text{Gal}(K^{\text{ksep}}/K) \to \text{Aut}(T(\phi, \alpha))$，其中树 $T(\phi, \alpha)$ 由 $\alpha \in \mathbb{P}^1(K)$ 在 $\phi \in K(x)$（且 $\text{deg}(\phi) \geq 2$）下的迭代原像构成，该同态被称为树状伽罗瓦表示。本文探讨了 Jones 和 Manes 提出的关于群 $G(\phi,\alpha) := \text{im} \rho = \underset{\leftarrow n}\lim\text{Gal}(K(\phi^{-n}(\alpha))/K)$ 大小的若干问题。具体而言，我们考虑对 $(\phi, \alpha)$ 的两种情况：(1) $\phi$ 使得由 $a_0 = \alpha$ 和 $a_n = \phi(a_{n-1})$ 定义的序列 $\{a_n\}$ 是周期的；(2) $\phi$ 与固定 $\alpha$ 的非平凡 Möbius 变换可交换。在第一种情况下，我们解决了 Jones 提出的关于 $G(\phi, \alpha)$ 大小的问题，并在取 $K = \mathbb{Q}$ 时，描述了形式为 $\phi(x) = x^2 + kx$ 或 $\phi(x) = x^2 - (k+1)x + k$ 的多项式 $\phi \in \mathbb{Z}[x]$ 的迭代伽罗瓦群。当 $K = \mathbb{Q}$ 且 $\phi \in \mathbb{Z}[x]$ 时，树状伽罗瓦表示是研究 $\phi$ 算术动力学的有用工具。对于 $k \in \mathbb{Z}$ 的 $\phi(x) = x^2 + kx$ 情况，我们利用 Jones 关于群 $G(\psi, 0)$ 大小的结果（其中 $\psi(x) = x^2 - kx + k$），获得了整除由 $a_0 \in \mathbb{Z}$ 和 $a_n = \phi(a_{n-1})$ 定义的序列 $\{a_n\}$ 项的素数的零密度结果。在第二种情况下，我们解决了 Jones 关于包含 $G(\phi, \alpha)$ 的特定子群 $C(\phi, \alpha) \subset \text{Aut}(T(\phi, \alpha))$ 大小的猜想，并展示了关于 Jones 和 Manes 提出的将 $G(\phi, \alpha)$ 视为 $C(\phi, \alpha)$ 子群时其大小猜想的证明进展。