正则伽罗瓦扩张的有理平移的非参数性

我们推广了 F. Legrand 关于给定群 $G$ 的非参数伽罗瓦扩张存在性的结果。更确切地说，对于 $K$-正则伽罗瓦扩张 $F|K(t)$，我们考虑通过有理函数域的扩张 $K(s)|K(t)$ 所作的平移 $F(s)|K(s)$（换言之，$s$ 是 $g(X)-t$ 的根，其中 $g\in K(X)$ 为某个有理函数）。然后我们证明，如果 $F|K(t)$ 是数域 $K$ 上群为 $G$ 的 $K$-正则伽罗瓦扩张，那么对于任意次数 $k\ge 2$ 以及几乎所有（在密度意义下）次数为 $k$ 的有理函数 $g$，$F$ 通过 $g(X)-t$ 在 $K(t)$ 上的根域所作的平移是非 $G$-参数化的，即 $K$ 的所有群为 $G$ 的伽罗瓦扩张并非都作为 $F(s)|K(s)$ 的特化而产生。