有理连通性与射影直线的 Galois 覆盖

设 k 为 p-adic 域。一段时间前，D. Harbater [9] 证明了任何有限群 G 均可实现为单变量有理函数域 k(t) 上的正则 Galois 群，即存在有限域扩张 $F/k(t)$，其 Galois 群为 G，使得 F 是 k 的正则扩张（即 k 在 F 中代数封闭）。此外，可以安排 k(t) 的给定 k-位在 F 中完全分裂。Harbater 对任意完备赋值域 k 证明了该定理。相当形式化的论证（[10, \S 4.5]；下文 \S2）随后表明该定理对任何“大”域 k 成立。这反过来是 Pop [15] 的一个结果的特例，因此将被称为 Harbater/Pop 定理。我们参考 [10], [16], [6] 以获取文献的精确引用（D\`ebes, Deschamps, Fried, Haran, Harbater, Jarden, Liu, Pop, Serre 和 V"olklein 的工作）。大多数证明（见 [10], [19, 8.4.4, p.~93] 及 Liu 对 [16] 的贡献；然而参见 [15]）首先使用直接论证建立当 G 为循环群时的定理（此处基域的性质无关紧要），然后通过拼接进行，使用形式几何或刚性几何以及 GAGA 定理。在本文中，我将代数闭域的情况视为已知，展示如何利用 Koll\'ar [12] 近期发展的一项技术，在“大”域 k 具有特征零时给出 Harbater/Pop 定理的一个截然不同的证明。该证明实际上给出了超出原始结果的内容（见定理 1 陈述后的评论）。