局部伽罗瓦理论

在 Galois 的《Memoire sur les conditions de resolubilite des equations par radicaux》命题 I 中，Galois 确立了具有有理系数多项式的分裂域的任意中间扩域都是其伽罗瓦群的不动域。我们首先陈述并证明这一陈述的（对偶）范畴解释，它是关于具有可表点的原子站点的一个定理。在一般情形，该点决定一个 proobject，并且它（同义地）变为 prorepresentable。我们陈述并证明，经适当修改后，Galois 定理的 prorepresentable 版本。在此情形，经典的自同构群必须被自同构的局部群所取代。这些进展构成我们称之为“局部伽罗瓦理论”的一个理论的内容。该理论的一个直接推论是定理：“具有一个点的 topos 是连通原子当且仅当它是某个局部群的分类 topos，且该群可取为该点的自同构 locale”。这一定理首次刊印证明于 Joyal A, Tierney M. 《An extension of the Galois Theory of Grothendieck》，Mem. AMS 151，定理1，第3节，第八章。我们的证明完全独立于 descent 理论以及该文中任何其他结果。