论 Grothendieck 的 Galois 理论

在本文中，我们处理 Grothendieck 对 Artin 关于 Galois 的 Galois 理论之解释的解释（及其与基本群和覆叠理论的天然联系），正如他在 SGA1 1960/61 的 Expose V 第 4 节“Conditions axiomatiques d'une theorie de Galois”中所发展的那样。这是一段富含范畴概念、极为优美的数学，并远远超越了 Galois 原有的范畴（正如 Galois 远远超越了五次方程不可解性）。我们显式地展示 Grothendieck 的抽象如何对应于 Galois 的工作。我们引入若干公理并证明一个刻画离散群作用范畴（topos）的定理。该定理精确对应于 Galois 的基本结果。Grothendieck 的定理刻画了profinite拓扑群连续作用的范畴（topos）。我们通过对离散群作用 topos 刻画定理的（topoi 反极限中的）“极限过渡”给出该结果的证明。我们处理 topoi 的反极限时，仅使用作为其（各自）定义 site 的小范畴的通常滤过余极限（或并）。除最后一节简要评论如何处理 prodiscrete（非 profinite）情形外，我们不考量 Grothendieck 工作的推广。我们也提及 Joyal-Tierney 的工作，它自然地落入我们的讨论中。阅读本文无需范畴论的高深知识，最后一节的评注除外。