低复杂度子移位系统的局部有限性与自同构群

我们证明，对于任意具有字复杂度函数 $c_n(X)$ 的传递子移位 $X$，若 $\liminf \frac{\log (c_n(X)/n)}{\log \log \log n} = 0$，则由移位 $\sigma$ 生成的子群在 $X$ 的自同构群中的商群 $\textrm{Aut}(X,\sigma) / \langle \sigma\rangle$ 是局部有限的。我们证明，若几何群论中的间隙猜想成立，则对 $c_n(X)$ 显著更弱的上界即可推出相同结论。我们的证明依赖于一个关于 $X$ 的秩 $n$ 自同构个数相对于字复杂度的通用上界，这本身可能具有独立意义。作为一个应用，我们还能够证明对于任意子移位 $X$，若 $\frac{c_n(X)}{n^2 (\log n)^{-1}} \rightarrow 0$，则 $\textrm{Aut}(X,\sigma)$ 是顺从的，改进了 Cyr 和 Kra 的结果。反之，我们证明对于任意可数无限局部有限群 $G$ 以及任意无界递增的 $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$，存在一个极小子移位 $X$，使得 $\textrm{Aut}(X,\sigma) / \langle \sigma\rangle$ 同构于 $G$ 且 $\frac{c_n(X)}{nf(n)} \rightarrow 0$。