给定的图限对称与刚性变体

我们证明任意紧可度量化群可实现为某个图限（graphing）的自同构群；这是 Frucht 定理（任意有限群均为有限图的自同构群）的连续类比。本文还包含若干关于紧群作用在经过图限序列极限时传递性保持的结果。若紧群 $\mathbb{G}$ 满足：每当它传递作用于收敛图限序列 $\Gamma_n$ 的每一项时，它也传递作用于极限 $\lim_n \Gamma$，则称其为图限刚性的（graphon-rigid）。我们证明对紧李群 $\mathbb{G}$，图限刚性等价于恒等分支 $\mathbb{G}_0$ 为半单的；作为 Lov\'{a}sz 与 Szegedy 结果的局部逆，这也等价于弱随机性：群在每一维数仅有有限个不可约表示的性质。类似地，若对每个紧李群 $\mathbb{H}$，态射 $\mathbb{G}\to \mathbb{H}$ 的像构成闭集（在自然拓扑下为闭子群集），则称紧群 $\mathbb{G}$ 为像刚性的（image-rigid）。我们证明图限刚性蕴含连通或 profinite 的紧群的像刚性，且对 profinite 阿贝尔群二者等价（也等价于无挠）。