关于群 $\mathrm{FAlt}(X)\leqslant G\leqslant \mathrm{Sym}(X)$ 的 $R_\infty$ 性质的一点注记

给定集合 $X$，群 $\mathrm{Sym}(X)$ 由从 $X$ 到 $X$ 的所有双射组成，而 $\mathrm{FSym}(X)$ 是具有有限支撑的映射的子群，即那些仅移动 $X$ 中有限个点的映射。我们描述了群 $\mathrm{FSym}(X)\le G\le \mathrm{Sym}(X)$ 的自同构结构，并由此给出 $G$ 具有 $R_\infty$ 性质的一些条件。我们的主要结果是：若 $G$ 是无限的、扭的，且 $\mathrm{FSym}(X)\le G\le \mathrm{Sym}(X)$，则它具有 $R_\infty$ 性质。此外，若 $G$ 是无限且剩余有限的，则存在集合 $X$ 使得 $G$ 在 $X$ 上忠实作用，并且利用该作用，$\langle G, \mathrm{FSym}(X)\rangle$ 具有 $R_\infty$ 性质。最后我们得到了关于 Houghton 群的一个结果，这是我们记为 $H_n$ 的一族群，其中 $n \in \mathbb{N}$。我们证明，给定任意 $n\in \mathbb{N}$，任何与 $H_n$ 可公度的群都具有 $R_\infty$ 性质。