因子化有限群可解性的汤普森式刻画

汤普森的一个著名结果表明：有限群可解当且仅当其所有两生成子群可解。该结果已被多种途径推广，并且处于群论中一个广泛研究领域的核心，旨在从两生成（或更一般地，$n$-生成）子群的局部性质得出群的全局性质。我们从因子化群的角度对汤普森定理给出推广。更确切地说，我们研究有限群 $G = AB$，其含子群 $A, B$ 使得对所有 $a \in A$ 与 $b \in B$ 均有 $\langle a, b\rangle$ 可解。此时，群 $G$ 被称为子群 $A$ 与 $B$ 关于所有有限可解群类 $\cal S$ 的 $\cal S$-连通积。我们的主定理陈述：$G = AB$ 是 $\cal S$-连通的当且仅当 $[A,B]$ 可解。在证明过程中，我们推导出一个关于几乎单群可解图上的独立素数的自有意义结果。