移位素数在递增差值的算术进数中的分布

我们得到素数 $p\leq x_1$, $p\leq x_2$ 且 $p_1(p_2+a)\equiv l \pmod q$ 的个数的渐近公式,其中 $(a,q)=(l,q)=1$, $q\leq x^{\kappa_0}$, $x_1\geq x^{1-\alpha}$, $x_2\geq x^{\alpha}$, $${\kappa}_0=\frac{1}{2.5+\theta+\varepsilon}, \quad \alpha\in \left[(\theta+\varepsilon)\frac{\ln q}{\ln x}, 1-2.5\frac{\ln q}{\ln x}\right],$$ 其中 $\theta=1/2$ 当 $q$ 为完全平方数时, $\theta=5/6$ 否则。这是对著名的 A.~A.~Karatsuba 公式的细化与推广。