大模数下的算术数列中的素数与西格尔零点

设 $\chi$ 为模 $D$ 上的一个 Dirichlet 字符，其关联的 $L$ 函数记为 $L(s,\chi)$，设 $\psi(x,q,a)$ 为素数计数函数，用于计数同余于 $a$ 模 $q$ 的素数。我们在假设存在一个 exceptional 字符 $\chi$ 且 $L(1,\chi)=o\left((\log D)^{-5}\right)$ 的条件下，证明对任意 $q<x^{\frac 23-\varepsilon}$，都有渐近公式 $$\psi(x,q,a)=\frac{\psi(x)}{\phi(q)}\left(1-\chi\left(\frac{aD}{(D,q)}\right)+o(1)\right)$$ 成立，其中 $a$ 几乎所有满足 $(a,q)=1$ 的值。我们也发现对于任意固定的 $a$，上述公式对几乎所有满足 $(a,q)=1$ 的 $q<x^{\frac 23-\varepsilon}$ 也成立。先前在西格尔零点假设下得到的素数分布结果（由 Friedlander-Iwaniec 及当前作者）要么得到上述渐近公式对所有 $a$ 与 $q$ 都成立，要么在 $q$ 的一系列范围上平均成立（即椭 Elliott-Halberstam 猜想），但这些结果都要求 $q<x^{\theta}$，其中 $\theta=\frac{30}{59}$ 或 $\frac{16}{31}$。