关于切比雪夫函数的均值及其应用

在解决数论中的若干问题时，$t(x;q)$ 有一个接近的估计就已足够。$t(x;q)$ 的最佳已知估计此前属于 G.~Montgomery、R.~Vaughn 和 Z.~Kh.~Rakhmonov。本文我们得到了一个形如\n$$t(x;q)=\sum_{\chi\bmod q}\max_{y\leq x}|\psi(y,\chi)|\ll x{\mathscr{L}}^{28}+x^\frac45q^\frac12{\mathscr{L}}^{31}+x^\frac12q{\mathscr{L}}^{32}$$\n的新估计，利用该估计，我们对素数的线性指数和证明了更强的估计\n$$S(\alpha,x)\ll xq^{-\frac12}{\mathscr{L}}^{33}+x^\frac45{\mathscr{L}}^{32}+x^\frac12q^\frac12{\mathscr{L}}^{33},$$当 $\left|\alpha-\frac aq\right|<\frac1{q^2}$，$(a,q)=1$ 时。我们还研究了当等差数列的差为素数的幂时，形式为 $p+n^2$ 的 Hardy-Littlewood 数在短等差数列中的分布。参考文献：30 篇。