例外特征标与 Dirichlet $L$-函数的非零性

设 $\psi$ 为模 $D$ 的实本原特征标。若 $L$-函数 $L(s,\psi)$ 在靠近 $s=1$ 处有一个实零点，即所谓的 Landau-Siegel 零点，则称特征标 $\psi$ 为例外的。在假设此类例外特征标存在的条件下，我们证明 Dirichlet $L$-函数 $L(s,\chi)$ 的中心值 $L(1/2,\chi)$ 中至少有百分之五十非零，其中 $\chi$ 取遍模 $q$ 的本原特征标且 $q$ 是大小为 $D^{O(1)}$ 的大素数。在同一假设下我们还表明，对几乎所有 $\chi$，函数 $L(s,\chi)$ 在 $s = 1/2$ 处至多有一个单零点。