p-进 L-函数的特殊值与 Dirichlet 特征的 Iwasawa λ-不变量

我们针对奇素数 $p$ 研究了任意阶 Dirichlet 特征 $\chi$ 的 Iwasawa $\lambda$-不变量。从 $p$-进 $L$-函数及其导数的特殊值出发，我们推导出若干新颖且易于计算的判据，用以区分 $\lambda = 0$、$\lambda = 1$、$\lambda = 2$ 和 $\lambda \geq 3$ 的情形。特别地，我们考察了 $p$-进 $L$-函数在 $s=0$ 处为零的情况。利用 Ferrero-Greenberg 和 Gross-Koblitz 的公式，我们给出了 $\lambda_p(\chi) >1$ 和 $\lambda_p(\chi) > 2$ 的条件。此外，我们扩展了 Ernvall-Metsänkylä 和 Dummit 等人的方法，通过用第二类特征 $\psi$ 对 $\chi$ 进行扭变，并利用 $p$-进 $L$-函数在 $s=2-p, \dots, 0$ 处的值来计算 $\lambda$-不变量。另外，我们利用 $s=1$ 处的值来计算 $\lambda_p(\chi)$。这些公式也被用于获取关于 $\lambda$-不变量分布的数值数据，其中素数 $p$ 或 Dirichlet 特征 $\chi$ 被固定。