含 Beatty 序列的素数

对某些哈密顿系统的研究促使 Y. Long 猜想存在无穷多个形如 $p=2[\alpha n]+1$ 的素数，其中 $1<\alpha<2$ 是固定的无理数。P. Ribenboim 的论证结合关于等差数列中素数的无理倍数分数部分分布的经典结果，立即表明该猜想在更精确的渐近形式下成立。受此观察启发，我们给出了素数 $p=q[\alpha n+\beta]+a$（其中 $n\le N$）的渐近公式，这里 $\alpha,\beta$ 是实数，$\alpha$ 为正且为有限类型的无理数（这对几乎所有 $\alpha$ 成立），$a,q$ 是满足 $0\le a<q\le N^\kappa$ 且 $\gcd(a,q)=1$ 的整数，其中 $\kappa>0$ 仅依赖于 $\alpha$。我们还证明了关于满足 $p\equiv a\pmod q$ 的素数 $p=[\alpha n+\beta]$ 的类似结果。