无大素因子与小素因子整数上 $\alpha n + \beta$ 模 1 的分布

对任意 $\varepsilon >0$，我们对满足 $$\lVert \alpha n + \beta \rVert < x^{-\frac{1}{4}+\varepsilon}$$ 且 $n \le x$ 的解的个数给出了渐近公式，其中 $n$ 对无穷多个实数 $x$ 是 $[y,z]$-光滑的。此外，我们还建立了带有 $n$ 上额外无平方因子条件的渐近公式。而且，若 $\alpha$ 是二次无理数，则渐近公式对所有充分大的 $x$ 成立。我们的工具来自 Harman 筛法，我们对其作了适当改造以筛取 $[y,z]$-光滑数。算术信息则来自指数和估计。