模素数幂的二元二次同余小解之渐近性态

设 $p>5$ 为固定素数，并设 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 均与 $p$ 互素。我们研究形如 $\alpha_1x_1^2+\alpha_2x_2^2+\alpha_3x_3^2\equiv 0\bmod{q}$（其中 $q=p^n$、$\max\{|x_1|,|x_2|,|x_3|\}\le N$ 且 $(x_1x_2x_3,p)=1$）的同余小解的渐近性态。（事实上，我们考虑该问题的光滑化版本。）若 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 固定且 $n\rightarrow \infty$，我们在条件 $N\gg q^{1/2+\varepsilon}$ 下建立渐近公式（从而证明此类解的存在性）。若这些系数随 $n$ 变化，我们证明当 $N\gg q^{11/18+\varepsilon}$ 时该公式成立。后者应与 Heath-Brown 的一个结果相比较，其针对奇平方自由模数 $q$ 在条件 $N \gg q^{5/8+\varepsilon}$ 下证明了非零解的存在性。