一般型三次二次同余方程的小解

我们考察形如 $x_1^2+\alpha_2x_2^2+\alpha_3x_3^2\equiv 0 \bmod{q}$ 的二次同余方程的小解，其中 $q=p^m$ 为奇素数幂。此处，$\alpha_2$ 是任意固定的，而 $\alpha_3$ 是可变的，我们假设 $(\alpha_2\alpha_3,q)=1$。我们证明对于所有与 $q$ 互素且仅限于少数 $\alpha_3$ 的 $\alpha_3$ 模 $q$，当 $N\ge q^{11/24+\varepsilon}$ 时，同余方程 $x_1^2+\alpha_2x_2^2+\alpha_3x_3^2\equiv 0 \bmod{q}$ 中满足 $\max\{|x_1|,|x_2|,|x_3|\}\le N$ 的解的个数具有渐近公式。值得注意的是，我们突破了上述指数的 1/2 障碍。如果将 $q$ 限制为固定素数 $p$ 的幂次 $p^m$ 且 $m$ 趋于无穷大，我们利用 $p$ 进制指数对的理论（由 Mili\'cevi\'c 发展）可获得略微的改进，将上述指数 $11/24$ 替换为 $11/25$。在 Dirichlet $L$ 函数的 Lindel\"of 假设下，我们可以将上述指数 $11/24$ 替换为 $1/3$。