关于三元二次同余方程小解的模平均问题

在最近的论文中，我们证明了对于任意足够大的奇数模数 $q\in \mathbb{N}$ 和固定于 $q$ 互素的 $\alpha_2\in \mathbb{N}$，同余方程\n\n$$x_1^2+\alpha_2x_2^2+\alpha_3x_3^2\equiv 0 \bmod{q}$$\n\n存在解 $(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{Z}^3$，其中 $x_3$ 与 $q$ 互素，满足高度 $\max\{|x_1|,|x_2|,|x_3|\}\le q^{11/24+\varepsilon}$，且 $\alpha_3$ 在意义上几乎所有 $\alpha_3$ 均成立，其中 $\alpha_3$ 遍历模 $q$ 的约既约类。其中 $11/24<1/2$ 的条件具有重要意义，我们突破了自然界壁垒。在本文中，我们对模数 $q$ 进行平均化，进一步建立了高度 $\le Q^{3/8+\varepsilon}\alpha_2^{\varepsilon}$ 的解的存在性，满足条件：$Q$ 足够大，$Q<q\le 2Q$，$q$ 与 $2\alpha_2$ 互素，$\alpha_3$ 遍历模 $q$ 的约既约类。