关于短区间变量乘积的同余式

我们证明了几个结果，其蕴含以下结论。对于任意 $\varepsilon>0$ 和任意充分大的素数 $p$，如果 $\cI_1,\ldots, \cI_{13}$ 是基数 $|\cI_j|>p^{1/4+\varepsilon}$ 的区间且 $abc\not\equiv 0\pmod p$，那么同余式 $$ax_1\cdots x_6+bx_7\cdots x_{13}\equiv c\pmod p$$ 有解且 $x_j\in\cI_j$。存在一个绝对常数 $n_0\in\N$ 使得对于任意 $0<\varepsilon<1$ 和任意充分大的素数 $p$，任意二次剩余 $\lambda$ 模 $p$ 可表示为 $$x_1\cdots x_{n_0}\equiv \lambda\pmod p,\quad x_i\in\N,\quad x_i\le p^{1/(4e^{2/3})+\varepsilon}.$$ 对于任意 $\varepsilon>0$ 存在 $n=n(\varepsilon)\in \N$ 使得对于任意充分大的 $m\in\N$ 同余式 $$x_1\cdots x_{n}\equiv 1\pmod m,\quad x_i\in\N,\quad x_i\le m^{\varepsilon}$$ 有解且 $x_1\not=1$。