同余方程 $\lambda_1 x_1^{k_1}+\cdots +\lambda_t x_t^{k_t}\equiv c\bmod{n}$ 的解数计数

给定多项式 $Q(x_1,\cdots, x_t)=\lambda_1 x_1^{k_1}+\cdots +\lambda_t x_t^{k_t}$，对于每个 $c\in \mathbb{Z}$ 和 $n\geq 2$，我们研究同余方程 $Q(x_1,\cdots, x_t)\equiv c\bmod{n}$ 在 $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^t$ 中满足 $x_i\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$（对 $i\in J\subseteq I= \{1,\cdots, t\}$）的解数 $N_J(Q;c,n)$。我们推导出公式和算法来研究 $N_J(Q; c,p^a)$，其中 $p$ 为任意素数，$a\geq 1$ 为任意整数。作为主要结果的推论，我们完全解决了以下计数问题：对任意素数 $p$ 和 $I$ 的任意子集 $J$，$Q(x_i)=\sum\limits_{i\in I}\lambda_i x_i$ 的计数问题；在 $t=2$ 时对任意 $p$ 和 $J$，以及 $t$ 为一般情形时对任意 $p$ 和满足 $\min\{v_p(\lambda_i)\mid i\in I\}=\min\{v_p(\lambda_i)\mid i\in J\}$ 的 $J$，$Q(x_i)=\sum\limits_{i\in I}\lambda_i x^2_i$ 的计数问题；在 $t=2$ 时对任意 $p\nmid k$ 和任意 $J$，以及 $t$ 为一般情形时对任意 $p\nmid k$ 和满足 $\min\{v_p(\lambda_i)\mid i\in I\}=\min\{v_p(\lambda_i)\mid i\in J\}$ 的 $J$，$Q(x_i)=\sum\limits_{i\in I}\lambda_i x^k_i$ 的计数问题。