关于受限线性同余的解的数量

考虑线性同余方程 $${a_1^{s}x_1+\ldots+a_k^{s} x_k \equiv b\,(\text{mod } n^s)}\text { where } a_i,b\in\mathbb{Z},s\in\mathbb{N}$$ 记 $(a,b)_s$ 为同时整除 $a$ 和 $b$ 的最大 $l^s\in\mathbb{N}$。给定 $t_i|n$，我们寻求该线性同余在限制 $(x_i,n^s)_s=t_i^s$ 下的解 $\langle x_1,\ldots,x_k\rangle\in\mathbb{Z}^k$。Bibak 等人 [J. Number Theory, 171:128-144, 2017] 考虑了上述 $s=1$ 时的线性同余，并给出了用 Ramanujan 和表示的解的数量公式。本文中，我们推导了任意 $s\in\mathbb{N}$ 时上述同余的解的数量公式，该公式涉及由 E. Cohen [Duke Math. J, 16(85-90):2, 1949] 定义的广义 Ramanujan 和。