通过图论方法对 Schönemann 定理的推广

近来，Grynkiewicz 等人 [Israel J. Math. 193 (2013), 359–398] 利用加性组合数学与群论的工具，证明了线性同余 $a_1x_1+\cdots +a_kx_k\equiv b \pmod{n}$（其中 $a_1,\ldots,a_k,b,n$（$n\geq 1$）为任意整数）存在解 $\langle x_1,\ldots,x_k \rangle \in \Z_{n}^k$ 且所有 $x_i$ 互不相异的充要条件。因此，给出此类解个数的显式公式是一个有趣的问题。颇为令人惊讶的是，该问题最早由 Schönemann 在近两个世纪前（！）于一个特殊情形中考虑过，但其结果似乎已被遗忘。Schönemann [J. Reine Angew. Math. 1839 (1839), 231–243] 在 $b=0$、$n=p$ 为素数且 $\sum_{i=1}^k a_i \equiv 0 \pmod{p}$ 但对所有 $\emptyset \not= I\varsubsetneq \lbrace 1, \ldots, k\rbrace$ 有 $\sum_{i \in I} a_i \not\equiv 0 \pmod{p}$ 时，证明了此类解个数的显式公式。本文中，我们利用 D. N. Lehmer 关于线性同余解个数的一个结果以及图枚举的一个结果，推广了 Schönemann 定理。这在该领域似乎是一种相当少见的方法；此外，我们的证明技术或其变体可能有助于处理该问题的其他情形（甚至一般情形）或其他相关问题。