一个涉及 Delannoy 数和 Schröder 数的超同余式

Delannoy 数和 Schröder 数分别由\n\begin{align*} D_n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}{n+k\choose k}\quad \text{and}\quad S_n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}{n+k\choose k}\frac{1}{k+1}, \end{align*}\n给出。令 $p>3$ 为素数。我们主要证明\n\begin{align*} \sum_{k=1}^{p-1}D_k S_k\equiv 2p^3B_{p-3}-2pH^{*}_{p-1} \pmod{p^4}, \end{align*}\n其中 $B_n$ 是第 $n$ 个伯努利数，且那些 $H^{*}_n$ 是由 $H^{*}_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{k}$ 给出的交错调和数。该超同余式最初由 Z.-W. Sun 于 2011 年猜想。