再论多变量二次同余式的解计数

设 $N_k(n,r,\boldsymbol{a})$ 表示二次同余式 $a_1x_1^2+\ldots+a_kx_k^2\equiv n$ (mod $r$) 的不同余解的个数，其中 $\boldsymbol{a}=(a_1,\ldots,a_k)\in {\Bbb Z}^k$，$n\in {\Bbb Z}$，$r\in {\Bbb N}$。我们就 $N_k(n,r,\boldsymbol{a})$ 给出了某些鲜为人知的紧凑公式的简短直接证明，这些公式适用于 $r$ 为奇数的情况，其渊源可追溯至 Minkowski、Bachmann 和 Cohen 的工作。我们还推导了一些其他相关的恒等式和渐近公式，这些似乎尚未出现在文献中。