具有互异奇部量的分拆的新同余式

令 $\mathrm{pod}(n)$ 表示 $n$ 的具有互异奇部量的分拆数量，${{r}_{k}}(n)$ 表示将 $n$ 表示为 $k$ 个平方和的表示数。我们发现了以下两个算术关系：对于任意整数 $n\ge 0$，有 $$\mathrm{pod}(3n+2)\equiv 2{{(-1)}^{n+1}}{{r}_{5}}(8n+5) \pmod{9},$$ 以及 $$\mathrm{pod}(5n+2)\equiv 2{{(-1)}^{n}}{{r}_{3}}(8n+3) \pmod{5}.$$ 由此我们推导出许多有趣的同余式，包括以下两个无穷族的 Ramanujan 型同余式：对于 $a \in \{11, 19\}$ 和任意整数 $\alpha \ge 1$ 及 $n \ge 0$，我们有 $$\mathrm{pod}\Big({{5}^{2\alpha +2}}n+\frac{a \cdot {{5}^{2\alpha +1}}+1}{8}\Big)\equiv 0 \pmod{5}.$$