通过 Atkin--Lehner 自反映射解释 PEND 与 POND 分区之间意外的同余关系

过去数年间，众多作者从多种角度研究了 POD 与 PED 分区，这两种整数分区分别要求奇数部分互不相同（POD）或偶数部分互不相同（PED）。近期，Ballantine 与 Welch 进而考虑了 POND 与 PEND 分区，即整数分区要求奇数部分不可互不相同（POND）或偶数部分不可互不相同（PEND）。随后，第一作者通过初等 $q$ -级数恒等式与生成函数变换以及数学归纳法证明了以下结果：对所有 $\alpha \geq 1$ 与所有 $n\geq 0,$，$$\mathrm{pend}\left(3^{2\alpha +1}n+\frac{17\cdot 3^{2\alpha}-1}{8}\right) \equiv 0 \pmod{3},$$以及 $$\mathrm{pond}\left(3^{2\alpha +1}n+\frac{23\cdot 3^{2\alpha}+1}{8}\right) \equiv 0 \pmod{3},$$其中 $\mathrm{pend}(n)$ 计算 PEND 分区的个数，$\mathrm{pond}(n)$ 计算 POND 分区的个数。本文复习了这些同余关系，通过 Atkin--Lehner 自反映射揭示其相互关系。据此，我们可以证明，一旦已知上述同余关系之一，另一条即立即得出。