POND 与 PEND 分拆同余式的初等证明

近来, Ballantine 与 Welch 考虑了 POD 与 PED 分拆的多种推广与精细化。这些是整数分拆,其中奇部必须互异(POD 分拆的情形)或偶部必须互异(PED 分拆的情形)。在此过程中,他们进而考虑了两类在某种意义上是 POD 与 PED 分拆之“对立面”的整数分拆。他们将其标记为 POND 与 PEND 分拆,即奇部不能互异(POND 分拆的情形)或偶部不能互异(PEND 分拆的情形)的整数分拆。本文从算术角度研究这两类分拆。在此过程中,我们得以证明以下两个 Ramanujan 型同余式的无穷族:对所有 $\alpha \geq 1$ 及所有 $n\geq 0$,\begin{align*} pond\left(3^{2\alpha +1}n+\frac{23\cdot 3^{2\alpha}+1}{8}\right) &\equiv 0 \pmod{3}, \textrm{\ \ \ and} \\ pend\left(3^{2\alpha +1}n+\frac{17\cdot 3^{2\alpha}-1}{8}\right) &\equiv 0 \pmod{3} \end{align*} 其中 $pond(n)$ 计数权为 $n$ 的 POND 分拆数,$pend(n)$ 计数权为 $n$ 的 PEND 分拆数。本文所用证明技巧皆为初等的,依赖于经典 $q$-级数恒等式与生成函数操作,以及数学归纳法。