关于模 n 单位平方和

设 $\mathbb{Z}_n$ 为模 $n$ 的剩余类环，$\mathbb{Z}_n^{\ast}$ 为其单位群。90 年前，Brauer 给出了 $c\in \mathbb{Z}_n$ 表示为 $k$ 个单位之和的表示数公式。最近，Yang 和 Tang 在 [Q. Yang, M. Tang, On the addition of squares of units and nonunits modulo $n$, J. Number Theory., 155 (2015) 1--12] 中给出了方程 $x_1^2+x_2^2=c$（其中 $x_{1},x_{2}\in \mathbb{Z}_n^{\ast}$）的解数公式。本文推广了这一结果。我们求出了方程 $x^2_{1}+\cdots+x^2_{k}=c$（其中 $x_{1},\ldots,x_{k}\in \mathbb{Z}_n^{\ast}$）解数的显式公式。