两平方和之连续游程

我们研究算术级数中两平方和连续项分布。若 $\{E_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ 为按递增顺序排列的两平方和序列，我们证明对任意模数 $q$ 及任意同余类 $a_1,a_2,a_3 \mod q$（在存在解 $x^2 + y^2 \equiv a_i \mod q$ 的意义下可容），存在无穷多个 $n$ 使得对 $i = 1,2,3$ 有 $E_{n+i-1} \equiv a_i \mod q$。我们还证明对任意 $r_1, r_2 \ge 1$，存在无穷多个 $n$ 使得对 $1 \le i \le r_1$ 有 $E_{n+i-1} \equiv a_1 \mod q$，且对 $r_1 + 1 \le i \le r_1 + r_2$ 有 $E_{n+ i - 1} \equiv a_2 \mod q$。