关于算术进数中 $r_3(n)$ 的极值

对于给定整数 $m$ 和任意可表示为模 $m$ 下三平方和的剩余类 $a$，我们证明存在无限多整数 $n \equiv a \pmod{m}$，使得表示 $n$ 为三平方和的个数 $r_3(n)$ 满足 $r_3(n) \gg_m \sqrt{n} \log \log n$。因此，我们确定存在无限多整数 $n \equiv a \pmod{m}$，其对应的 Hurwitz 类数 $H(n)$ 也满足 $H(n) \gg_m \sqrt{n} \log \log n$。