等差数列中多项式值的数字和

设 $q, m\geq 2$ 为整数且满足 $(m,q-1)=1$。记 $s_q(n)$ 为 $n$ 在 $q$ 进制数字展开下的数字和。进一步设 $p(x)\in \mathbb{Z}[x]$ 为次数 $h\geq 3$ 的多项式且满足 $p(\mathbb{N})\subset \mathbb{N}$。我们证明存在 $C=C(q,m,p)>0$ 和 $N_0=N_0(q,m,p)\geq 1$，使得对所有 $g\in\mathbb{Z}$ 和所有 $N\geq N_0$，有 $$\#\{0\leq n< N: \quad s_q(p(n))\equiv g \bmod m\}\geq C N^{4/(3h+1)}.$$ 这改进了 Dartyge 和 Tenenbaum (2006) 给出的一般下界 $C N^{2/h!}$。