有限域上多项式因子的次数

我们证明，在具有 $q$ 个元素的有限域上，次数为 $n$ 且具有每个低于 $n$ 的次数的因子的多项式所占比例为 $c_q n^{-1} + O(n^{-2})$。更一般地，我们给出了其因子次数集合没有大于 $m$ 的间隙的多项式所占比例的渐近公式。为此，我们首先推导了次数为 $n$ 且所有非常数因子的次数均大于 $m$ 的多项式所占比例的改进估计。在 $q \to \infty$ 的极限下，这些结果与关于排列循环结构的相应估计一致。