Reed-Solomon 码中到接收字的距离分布

设 $\mathbb{F}_q$ 为含 $q$ 个元素的有限域。本文对如下计数问题给出界：给定 $\mathbb{F}_q[x]$ 中次数为 $k+m$ 的多项式 $f(x)$ 和非负整数 $r$，统计 $\mathbb{F}_q[x]$ 中次数至多为 $k-1$ 的多项式 $g(x)$ 的个数，使得 $f(x)+g(x)$ 在 $\mathbb{F}_q$ 中恰有 $r$ 个根。此前，显式公式仅对 $m=0, 1, 2$ 的情形已知。作为一个应用，我们得到了标准 Reed-Solomon 码 $[q, k, q-k+1]_q$ 的列表大小的一个渐近公式。