基-q与Ostrowski数位和在剩余类中的联合分布

设 $q$ 为大于等于 $2$ 的整数，令 $S_q(n)$ 表示 $n$ 在基 $q$ 下的数字和。对于 $$\alpha=[0;\overline{1,m}],\ m\geq 2,$$ 令 $S_{\alpha}(n)$ 表示 $n$ 的 Ostrowski $\alpha$-表示中的数字和。设 $m_1,m_2\geq 2$ 为满足 $$\gcd(q-1,m_1)=\gcd(m,m_2)=1$$ 的整数。我们证明存在 $\delta>0$ 使得对所有整数 $a_1,a_2$，\begin{eqnarray*} &&|\{0\leq n<N: S_{q}(n)\equiv a_1\pmod{m_1},\ S_{\alpha}(n)\equiv a_2\pmod{m_2}\}| &=&\frac{N}{m_1m_2}+O(N^{1-\delta}). \end{eqnarray*} 该等式所蕴含的渐近关系由 Coquet、Rhin 与 Toffin 证明，而该等式在 $\alpha=[\ \overline{1}\ ]$ 的情形由 Spiegelhofer 证明。