Cusick 关于 n+t 数字和的猜想的一个下界

令$s$为二进制下的数字和函数，其返回非负整数二进制展开中$\mathtt 1$的个数。对非负整数$t$，定义渐近密度$$c_t=\lim_{N\rightarrow \infty} \frac 1N\bigl\lvert\{0\leq n<N:s(n+t)\geq s(n)\}\bigr\rvert.$$ T.~W.~Cusick 猜想$c_t>1/2$。我们有初等界$0<c_t<1$；然而，目前未知对任何$t$都成立的形如$0<\alpha\leq c_t$或$c_t\leq \beta<1$的界。本文中，我们证明只要$t$的二进制展开中含有足够多的$\mathtt 1$块，就有$c_t>1/2-\varepsilon$。在证明中，我们给出了一个关联概率分布矩的估计；这推广了 Emme 与 Prikhod'ko（2017）发起以及 Emme 与 Hubert（2018）延续的研究。