基于数位展开的概率度量的鞅演化

设 $s(n)$ 表示自然数 $n\in\mathbb{N}$ 的二进制展开中 1 的个数。对于任意 $t\in\mathbb{N}$ 和 $d\in\mathbb{Z}$，记 $\mu_t(d)$ 为数集中那些自然数 $n$ 满足 $s(n+t)-s(n)=d$ 的渐近密度。众所周知，$\mu_t$ 是定义在 $\mathbb{Z}$ 上的properly 定义的概率度量，且 Cusick 猜想指出 $\mu_t(\mathbb{N})>\frac{1}{2}$ 对任意 $t\in\mathbb{N}$ 都成立。本文通过对奇整数进行重新排序来研究 $\{\mu_t\}_{t\in\mathbb{N}}$ 的性质。这种构建导致了成对概率度量上的非自动动态， 并可自然解释为平面二进制树及其相应停止时间的演化。度量 $\mu_t$ 对应于关联停止随机漫步的边际分布。我们将假设随机漫步从零开始，因此我们将处理由卷积 $\mu_t=\mu_1\ast P_t$ 确定的度量族。与停止随机漫步相关的鞅允许对这些度量，包括其支持、对称性、方差和渐近行为进行透明的结构描述。最后我们讨论了该鞅的中位数保持性，并指出 Cusick 猜想是关于鞅关联的二进制树的非对称演化更一般主张的特例。该主张的最后一个论点在论文末尾通过数值实验得到支持。