二元数字和函数相关度量指标的渐近正态分布

本文研究 \cite{emme_asymptotic_2017} 中引入的相关度量指标。记 $\mu_a(d)$ 为集合 $\mathcal{E}_{a,d}=\{n \in \mathbb{N}, \ s_2(n+a)-s_2(n)=d\}$（其中 $s_2$ 为二进制下的数字和函数）的渐近密度。随后，对 $\{0,1\}^\mathbb{N}$ 中任意点 $X$，定义整数序列 $\left(a_X (n)\right)_{n\in \mathbb{N}}$，使得 $a_X (n)$ 的二进制分解为 $X$ 的长度为 $n$ 的前缀。我们证明，对 $\{0,1\}^\mathbb{N}$ 上任意平移不变遍历概率测度 $\nu$，序列 $\left(\mu_{a_X(n)}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ 满足中心极限定理。该结果在 $\nu$ 为对称 Bernoulli 测度的情形已由 \cite{emme_central_2018} 证明。