关于数字和变差的一个中心极限定理

我们证明了在基 $b\ge 2$ 下，由数字和函数的变差所定义的概率测度的一个中心极限定理。对 $r\ge 0$ 与 $d \in \mathbb{Z}$，我们考虑 $\mu^{(r)}(d)$ 为使得当把 $r$ 加到 $n$ 上时数字和增加 $d$ 的整数 $n\in \mathbb{N}$ 的密度。我们在由配备归一化 Haar 测度的 $b$-进整数群所给出的概率空间上给出 $\mu^{(r)}$ 的概率解释。我们将整数 $r$ 的 $b$ 进制展开拆分为所谓的“块”，并考虑当块数趋于无穷时 $\mu^{(r)}$ 的渐近行为。我们证明，在重整化之后，当 $r$ 的块数增长到无穷时，$\mu^{(r)}$ 收敛到标准正态律。我们给出收敛速度的估计。证明尤其依赖于定义在 $b$-进整数上的一个 $\phi$-混合过程。