Martin-Löf 随机数的中心极限定理

我们证明了两个与 Martin-Löf 随机（MLR）序列的中心极限定理（CLT）相关的定理。Martin-Löf 随机性试图捕捉一个比特序列作为“真正随机”的含义。相比之下，CLT 不对单个随机序列的行为作出断言，而仅对随机变量序列的分布行为作出断言。在语义上，我们通常将 CLT 解释为关于无限多个序列集体行为的断言。然而，我们的直觉是，如果一个比特序列是“真正随机”的，那么它应该提供一个“随机性源”，使得 CLT 类型的结果能够成立。我们通过使用一种从单个二进制序列生成无限多个样本的抽样方案来解决这一困难。我们证明，当我们将此方案应用于 Martin-Löf 随机序列时，这些样本的经验矩和累积分布函数（CDF）趋向于正态分布的对应部分。我们还证明了著名的几乎必然中心极限定理（ASCLT），它为这个问题提供了一个替代的、尽管不那么直观的答案。这两个结果也推广到了 Schnorr 随机序列。