不变测度、匹配与有符号二进制展开中数字 0 的频率

我们引入了一族参数化映射 $\{S_{\eta}\}_{\eta \in [1,2]}$，称为对称加倍映射，定义在 $[-1,1]$ 上，形式为 $S_\eta (x)=2x-d\eta$，其中 $d\in \{-1,0,1 \}$。每个映射 $S_\eta$ 生成具有数字 $-1$、0 和 1 的二进制展开。我们研究了典型展开中数字 0 的频率作为参数 $\eta$ 的函数。变换 $S_\eta$ 具有一个自然的遍历不变测度 $\mu_\eta$，该测度关于勒贝格测度绝对连续。根据遍历定理，数字 0 的频率与测度 $\mu_{\eta}([-\frac12,\frac12])$ 相关。我们证明，除了一个勒贝格测度为零且豪斯多夫维数为满的参数集外，$\mu_\eta$ 的密度是分段光滑的，并完整描述了密度分段光滑的最大参数区间的结构。我们给出了在每个这样的参数区间上典型有符号二进制展开中数字 0 频率的显式公式，并证明该频率连续依赖于参数 $\eta$。此外，该频率仅在区间 $\big[ \frac65, \frac32\big]$ 上取值为 $\frac23$，而在参数空间的其余部分严格小于 $\frac23$。