区间分段扩张映射单参数族的典型点

设 $I\subset\mathbb{R}$ 为区间，$T_a:[0,1]\to[0,1]$，$a\in I$，为分段扩张映射的单参数族，使得对于每个 $a\in I$，映射 $T_a$ 容许唯一的绝对连续不变概率测度 $\mu_a$。我们为这样的单参数族建立了充分条件，使得给定点 $x\in[0,1]$ 对于全 Lebesgue 测度的参数集 $a$ 是 $\mu_a$ 的典型点，即 $$\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\delta_{T_a^i(x)} \overset{\text{weak-}*}{\longrightarrow}\mu_a,\qquad\text{as} n\to\infty,$$ 对 Lebesgue 几乎所有 $a\in I$ 成立。特别地，我们考虑了 $\beta$-变换、斜帐篷映射以及保持马尔可夫结构的单参数族的 $C^{1,1}(L)$-版本。对于斜帐篷映射，我们证明了转折点几乎必然是典型的。