混沌二次映射的展开——自然测度的参数依赖性

我们考虑承认绝对连续不变概率测度的二次映射 $f_a$ 的扰动,其中 $a$ 属于某个具有正测度的参数集合 $\mathcal{A}$,并证明在任意一个这样的 $f_a$ 的任意邻域内,我们都发现丰富的动力学行为。存在具有周期吸引子的映射,也存在非周期映射,其临界轨道被 $f_a$ 的任意指定的双曲排斥子的连续统所吸收。特别地,Misiurewicz 映射在 $\mathcal{A}$ 中稠密。已知二次族中几乎所有映射 $f_a$ 都拥有唯一的自然测度,即一个描述几乎所有轨道渐近分布的不变概率测度 $\mu_a$。我们讨论映射 $a\mapsto \mu_a$ 在集合 $\mathcal{A}$ 附近的弱*-(不)连续性性质,并证明 $\mathcal{A}$ 中的几乎所有映射都具有如下性质:$\mu_a$ 可被某些邻近映射的周期吸引子上所支撑的测度逼近。另一方面,对于任意 $a \in \mathcal{A}$ 以及 $f_a$ 的任意周期排斥子 $\Gamma_a$,支撑于 $\Gamma_a$ 的奇异测度也可被邻近周期吸引子上所支撑的测度逼近。由此可知,$a\mapsto \mu_a$ 在 $(0,2]$ 的任意满测度子集上都不是弱*连续的。其中部分结果可推广到具有更高阶临界点的单峰族,甚至可推广到不太平坦的平顶族。