具有主导扩张性的多峰圆映射在随机扰动下具有正李雅普诺夫指数

我们研究了振幅为 $\epsilon > 0$ 的 IID 随机扰动对一参数族光滑多峰映射 $\{f_a : S^1 \to S^1, a \in [0,1]\}$ 渐近动力学的影响，该映射族是“主导扩张性的”，即远离临界集 $\{ f'_a = 0 \}$ 的小邻域时 $|f'_a| \gg 1$。对任意 $\epsilon > 0$，我们得到了关于参数 $a$ 的一个可检验的有限时间判据，使得映射 $f_a$ 的随机扰动表现出（i）唯一的平稳测度，以及（ii）与 $\int_{S^1} \log |f_a'| \, dx$ 相当的正李雅普诺夫指数。这与 $f_a$ 的确定性动力学情形形成对比，后者的混沌机制由通常不可检验的无限时间条件决定。此外，我们的有限时间判据仅依赖于 $f_a$ 确定性动力学的 $k \sim \log (\epsilon^{-1})$ 次迭代，且当 $\epsilon \to 0$ 时增长相当缓慢。