高斯型映射遍历理论的一个推广

我们提出遍历理论的一个推广，其侧重于通过不变测度的唯一性来辨识遍历性。我们首先针对加倍映射解释该概念，后者可利用傅里叶方法分析。接着我们转向感兴趣的高斯型映射，其形式为在区间 $[-1,1]$ 上的 $x\mapsto -\beta/x$ mod $2\mathbb Z$，其中 $0<\beta\le1$。我们研究区间上的一个扩展状态空间，它定义为形如 $f+\mathbf{H}g$ 的函数在区间 $[-1,1]$ 上的限制，其中 $f$ 和 $g$ 是 $L^1$ 函数。然后我们寻找该高斯型映射的不变状态。我们发现，对于 $L^1$ 可用的标准遍历性结果很难扩展到更大的状态空间。所发展的机制涉及希尔伯特核的奇部的动态分解。我们将该结果应用于判定给定两个原子奇异内函数的非负整数次幂在弱星拓扑下于 $H^\infty$ 中是否完备的问题。