$\mathbb{R}^1$上Moran测度量化误差的渐近均匀性

设 $E$ 为 $\mathbb{R}^1$ 上关联于闭区间 $J$ 及两序列 $(n_k)_{k=1}^\infty$ 与 $(\mathcal{C}_k=(c_{k,j})_{j=1}^{n_k})_{k\geq1}$ 的Moran集。设 $\mu$ 为 $E$ 上关联于正概率向量序列 $(\mathcal{P}_k)_{k\geq1}$ 的无穷乘积测度(Moran测度)，其中 $\mathcal{P}_k=(p_{k,j})_{j=1}^{n_k},k\geq 1$。我们假定 $$\inf_{k\geq1}\min_{1\leq j\leq n_k}c_{k,j}>0,\;\inf_{k\geq1}\min_{1\leq j\leq n_k}p_{k,j}>0.$$ 对每个 $n\geq 1$，令 $\alpha_n$ 为 $\mu$ 的 $r\in(0,\infty)$ 阶量化中的一个 $n$ 最优集，$\{P_a(\alpha_n)\}_{a\in\alpha_n}$ 为关于 $\alpha_n$ 的任意Voronoi划分。对每个 $a\in\alpha_n$，记 $I_a(\alpha,\mu):=\int_{P_a(\alpha_n)}d(x,\alpha_n)^rd\mu(x)$ 及 $$\underline{J}(\alpha_n,\mu):=\min_{a\in\alpha_n}I_a(\alpha,\mu),\; \overline{J}(\alpha_n,\mu):=\max_{a\in\alpha_n}I_a(\alpha,\mu).$$ 我们证明 $\underline{J}(\alpha_n,\mu)$、$\overline{J}(\alpha_n,\mu)$ 与 $e^r_{n,r}(\mu)-e^r_{n+1,r}(\mu)$ 同 $\frac{1}{n}e^r_{n,r}(\mu)$ 为同阶，其中 $e^r_{n,r}(\mu):=\int d(x,\alpha_n)^rd\mu(x)$ 为 $\mu$ 的 $r$ 阶第 $n$ 量化误差。特别地，对于 $\mathbb{R}^1$ 上Moran测度类，我们的结果表明Gersho猜想的一个较弱版本成立。