Ahlfors-David 概率测度量化误差的渐近局部一致性

设 $\mu$ 为 $\mathbb{R}^q$ 上的 Ahlfors-David 概率测度，即存在某些常数 $s_0>0$ 和 $\epsilon_0,C_1,C_2>0$ 使得 $$C_1\epsilon^{s_0}\leq\mu(B(x,\epsilon))\leq C_2\epsilon^{s_0},\;\epsilon\in(0,\epsilon_0),\;x\in{\rm supp}(\mu).$$ 对于 $n\geq 1$，设 $\alpha_n$ 为 $\mu$ 的 $r$ 阶 $n$-最优集，并设 $(P_a(\alpha_n))_{a\in\alpha_n}$ 为关于 $\alpha_n$ 的任意 Voronoi 划分。$\mu$ 的 $r$ 阶第 $n$ 个量化误差 $e_{n,r}(\mu)$ 由 $e^r_{n,r}(\mu):=\int d(x,\alpha_n)^rd\mu(x)$ 给出。记 $$I_a(\alpha,\mu):=\int_{P_a(\alpha_n)}d(x,\alpha_n)^rd\mu(x),\;a\in\alpha_n.$$ 我们证明，$\underline{J}(\alpha_n,\mu):=\min_{a\in\alpha_n}I_a(\alpha,\mu)$、$\overline{J}(\alpha_n,\mu):=\max_{a\in\alpha_n}I_a(\alpha,\mu)$ 以及误差差 $e^r_{n,r}(\mu)-e^r_{n+1,r}(\mu)$ 与 $\frac{1}{n}e^r_{n,r}(\mu)$ 同阶。结合 Graf 和 Luschgy 的工作，这得出上述三个量均与 $n^{-(1+\frac{r}{s_0})}$ 同阶。