$n$ 维可求长性的 Jones 平方函数刻画：第一部分

本文证明了若 $\mu$ 是 $\mathbb R^d$ 中的有限 Radon 测度，且是 $n$ 维可求长的，并且 $1\leq p\leq 2$，则有 \int_0^\infty \beta_{\mu,p}^n(x,r)^2\,\frac{dr}r<\infty \quad {对 $\mu$ 几乎处处的 $x\in\mathbb R^d$ 成立}, 其中 $$\beta_{\mu,p}^n(x,r) = \inf_L (\frac1{r^n} \int_{\bar B(x,r)} (\frac{\mathrm dist(y,L)}{r})^p\,d\mu(y))^{1/p},$$ 下确界取遍所有 $n$ 维平面 $L\subset \mathbb R^d$。系数 $\beta_{\mu,p}^n$ 与 David 和 Semmes 在所谓一致 $n$ 维可求长性背景下考虑的系数相同。本文还证明了涉及 Wasserstein 距离 $W_1$ 某种变体的其他系数给出的 $n$ 维可求长性的类似必要条件。