涉及质心与可矩性的平方函数

对于$\mathbb{R}^d$上的Radon测度$\mu$，定义$C^n_\mu(x, t)= \ (\frac{1}{t^n} \ |\int_{B(x,t)} \frac{x-y}{t} \, d\mu(y)\ | \ )$。该系数通过将给定尺度与位置处的质心同球的实际中心比较，来量化测度$\mu$的对称程度。我们证明若$\mu$是$n$-可矩的，则$\int_0^\infty |C^n_\mu(x,t)|^2 \frac{dt}{t} < \infty \, \, \mu\mbox{-almost everywhere}.$结合Mayboroda与Volberg先前证明逆命题成立的结果，这给出了$n$-可矩性的一个刻画。为证明主要结果，我们还证明了对$n$-一致可矩测度，$|C_\mu^n(x,t)|^2 dt/t d\mu$是$\mathrm{spt}(\mu) \times (0,\infty)$上的Carleson测度。我们还证明，若平面中测度$\mu$是$1$-可矩的，则上述同样的Dini条件对更一般的核成立。此外，我们给出了平面中一致1-可矩性基于Carleson测度条件的刻画。